Ciao, chi se la sente provi a risolvere questo problemino, che non dovrebbe essere troppo difficile:
Sia P(z) un polinomio complesso con tutte le radici di valore assoluto minore o uguale a 1. Dimostrare che per ogni radice z0 c'è un punto z in cui si annulla la derivata P'(z) tale che |z0-z| è minore o uguale a 1.
Buon divertimento!
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3 commenti:
Per semplificare, poniamo che le radici di p(z) siano 3, e distinte (ai volenterosi la generalizzazione). p'(z)=0 quando
1/(a-z) + 1/(b-z) + 1/(c-z) = 0
Affinchè tale relazione sia verificata
è necessario quantomeno che z giaccia all'interno del triangolo abc; in caso contrario i vettori
1/(a-z) , 1/(b-z) , 1/(c-z)
appartengono tutti ad un medesimo semipiano e per questo non possono avere somma nulla. Supponendo che sia
|z-a| > 1 , |z-b| > 1 , |z-c| > 1
z risulta collocato bel al di fuori del triangolo abc, dunque non può aversi p'(z) = 0. Dalla negazione di ciò segue la tesi.
Per la generalizzazione credo sia sufficiente considerare "inviluppo convesso" in vece di "triangolo".
Saluti e baci,
Jack (elianto84@gmail.com)
Ciao, purtroppo stai solo dimostrando che ogni zero della derivata si trova nell'inviluppo convesso delle radici, e che vicino ad ogni zero della derivata deve esserci una radice, mentre quello che chiedeva il problema era che vicino ad ogni radice ci deve essere uno zero della derivata. Capisci, ci potrebbe essere una radice del polinomio tutta sola soletta... :)
You're right. Ho tentato: magari, un passo alla volta, si smonta...
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